Minggu, 23 Januari 2011

PIERRE SIMON MARQUIS DE LAPLACE


ABSTRAK
Pierre Simon Marquis de Laplace (laplace) adalah seorang ahli matematika dan astronom dari Perancis. Namanya terkenal sebagai matematikawan untuk karyanya pada transformasi dan pergerakan planet. Ia meringkas  dan mengembangkan karya- karya dari para pendahulunya, yang dikumpulkan dalam volume kelima pada bukunya yang berjudul Traité de Mécanique Céleste   (treaty on celestial mechanic). Karya ini sangat penting karena merupakan terjemahan dari studi geometri mekanika yang digunakan oleh Isaac Newton I berdasarkan kalkulus.
            Dalam bukunya Traité de Mécanique Céleste, Ia membuktikan stabilitas dinamis pada solar system (dengan mengesampingkan pergesekan yang ada) dalam jangka waktu yang singkat. Beberapa lama kemudian, teorinya terbukti salah, karena mengakibatkan kekacauan. Laplace juga menjelaskan mengenai variasi waktu yang lama dalam menentukan kecepatan orbit pada Jupiter dan Saturnus (1786), dan pada bulan (1787). Hipotesis nebularnya pada solar sistem mirip dengan Immanuel Kant.
  Ia juga merumuskan persamaan laplace dan sebagai pelopor transformasi laplace, yang muncul dalam banyak cabang ilmu matematika fisika. Ia dikenang sebagai salah satu seorang ilmuwan yang hebat sepanjang masa,yang kadang-kadang disebut sebagai French Newton atau newton of French, dengan fenomena matematika alami yang luar biasa di zamannya. 

                                         PENDAHULUAN
PIERRE SIMON MARQUIS DE LAPLACE
Laplace lahir pada tanggal 23 Maret 1749 di Beamount en Auge ,Normandi, Perancis. Laplace adalah putra dari seorang petani. Ayah Laplace berasal dari kelurga petani, sedangkan ibunya bernama Marie Anne Sochon. Kedua orang tuanya berasal dari tanah pertanian yang subur di Tourgeville. Kecerdasan Laplace diketahui oleh tetangganya melihat bakat menonjol dari Laplace. Sukses perdana Laplace adalah dengan memenangi perdebatan dalam suatu perdebatan theology. Laplace belajar matematika di akademi militer di Beaumont sebagai seorang mahasiswa pandai sehingga diangkat menjadi asisten dosen. Untuk pertama kalinya ,Ia mengajar matematika sebelum meneruskan sekolah di Caen. Ada yang menyebut bahwa ketertarikan orang bukan pada kemampuan matematika tetapi karena ingatan yang luar biasa sehingga mampu menarik perhatian orang-orang yang berpengaruh dan nantinya akan membawanya ke Paris. Pada umur 18 tahun, Laplace mencoba mencari keberuntungannya dengan jalan merantau. Laplace menilai dirinya terlalu tinggi. Dengan penyesuaian terhadap rasa percaya diri, Laplace memasuki kota Paris untuk menaklukan dunia matematika.
Pada umur 16 tahun, Laplace masuk Universitas Caen. Selama dua tahun di Universitas Caen, Laplace menunjukkan bakat dibidang matematika dan menyukai mata kuliah ini. Memperoleh pujian dari dua dosen matematika, yang sebenarnya tidak banyak mengetahui Laplace, yaitu C. Gadbled dan P. Le Canu, yang hanya sekedar mengetahui bahwa Laplace mempunyai potensi menjadi seorang matematikawan yang besar.
Pada saat itu d`Alembert merupakan matematikawan terkemuka di Paris. Begitu tiba di Paris, dengan membawa surat pengantar (referensi dari C. Gadbled dan P. Le Canu), Laplace meminta surat rekomendasi kepada d`Alembert.Surat pertamanya tidak dibalas, karena d`Alembert tidak menyukai “gaya” anak muda yang membwa surat referensi orang terkenal. Kemudian Laplace kembali menulis surat kedua kepada d`Alembert, dan kali ini lebih banyak dilampiri dengan prinsip-prinsip dasar mekanika. Dan kali ini, d`Alembert membalas, dan isinya “Anda mengetahui bahwa saya tidak perduli dengan surat referensi anda,karena memang anda tidak membutuhkannya. Anda mengenalkan diri anda dengan lebih baik. Hal ini sudah cukup. Dukunganku selalu mengiringi anda”. Beberapa hari kemudian, setelah Laplace mengucapkan terimakasih kepada d`Alembert, Laplace diangkat menjadi Profesor matematika di Sekolah Militer Paris (Ecole Militaire). Hubungan Laplace dengan d`Alembert sempat memanas ketika Lagrange diusulkan oleh d`Alembert untuk menggantikan posisi Euler di Akademi Berlin.
Tidak ada ide Laplace yang baru. Semua ide-idenya merupakan pengembangan atau hanya mengganti tampilan ide-ide orang lain. Ketika Lagrange membicarakan masalah tiga-raga (three body), Laplace mengambil langkah serupa, namun pada skala yang lebih luas. Ide Lagrange tentang teori potensial dikembangkan oleh Laplace sehingga membuat nama Laplace dikenal sampai saat ini. Laplace memulai dari hokum Newton dan kemudian digabung dengan dampak ketidakstabilan (daya tarik) dari planet-planet terhadap matahari. Begitu pula karya Legendre tentang cara melakukan analisis yang diperbaiki oleh Laplace. Karya besarnya yaitu Mecanique celeste tetap mengacu kepada karya-karya orang lain yang digabungkan dengan sedikit “sentuhan” dari dirinya. Dari karya ini, kemudian Laplace mengembangkan apa yang kemudian disebut dengan model matematika alam semesta. Peran Newton, seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, merupakan panutan dan model acuan Laplace. Sumbangsihnya bagi dinamika system matahari (solar system) adalah topic yang terlupakan oleh orang lain. Kemudian dari topic system matahari (solar system) timbul pertanyaan, yaitu “ apakah system matahari itu stabil atau tidak ?”. Ini diasumsikan bahwa hokum Newton tentang gravitasi berlaku umum dan hanya mengendalikan gerak planet.
Langkah penting Laplace untuk menjawab pertanyaan tersebut, terjadi saat Ia berumur 24 tahun (1773), diman Ia mampu membuktikan bahwa jarak antara planet-planet dengan matahari bervariasi tergantung pada periode. Prestasi ini membuat Laplace mendapat penghargaan , sehingga karirnya melonjak dan kemudian Ia diangkat menjadi anggota Akademi Sains. Karya tersebut, membuat Laplace akhirnya memutuskan bahwa Ia akan mangabdikan dan mngerahkan seluruh kemampuannya untuk menekuni bidang astronomi matematikal.
Saat itu di Perancis nama Laplace dan Lagrange sangat terkenal, tetapi mempunyai banyak perbedaan yang mencolok dalam pengembangan matematika. Laplace termasuk kelompok fisikawan matematika, sedangkan Lagrange adalah matematikawan murni. Perbedaan mendasar antara Lagrange dan Laplace juga tercermin pada hasil karya mereka, apakah mengenai mempelajari suatu bilangan atau daya tarik bulan . Lagrange menjawab semua pertanyaan dengan menggunakan matematika, sedangkan Laplace memandang matematika sebagai alat yang perlu dimodifikasi atau disesuaikan dengan suatu masalah-masalah tertentu yang timbul. Sehingga dapat dikatakan , Laplace merupakan seorang matematikawan besar, sedangkan Lagrange merupakan seorang filsuf besar yang ingin memahami alam dengan menggunakan matematika tinggi.
Fourier, yang merupakan teman baik keduanya, memberikan ungkapan bahwa Lagrange bukanlah filsuf tetapi lebih tepat sebagai matematikawan, karena seluruh hidupnya dipergunakan untuk membuktikan, sesuai dengan kehendak hatinya , bukan untuk kepentingan umat manusia. Lanjutnya, Lagrange membawa dampak besar bagi matematika modern melalui “kedalaman dan akurasi dari karya-karya ilmiahnya”, dimana hal ini tidak terkandung pada karya besar Laplace.
Terlepas dari perbedaan itu, nyatanya nama Laplace lebih popular dibandingkan dengan Lagrange. Mungkin karena Laplace berkutat dengan proyek besar, yaitu memperagakan bahwa system matahari adalah mesin penggerak yang tidak pernah diam dengan bentuk luar biasa besarnya.
Pada tahun 1785, pada usia 36 tahun, Laplace dipromosikan menjadi anggota Akademi Sains dan memperoleh penghargaan sebagai manusia berkarir dalam bidang sains (career of a man of science). Pada tahun yang sama, Laplace mampu menjadi figure masyarakat. Prestasi ini membuat Ia dicalonkan sebagai kandidat tunggal pada Sekolah Militer. Di sini Laplace bertemu dengan seorang anak muda yang menjegal rencana-rencananya dalam bidang matematika untuk masuk ke dalam dunia permainan politik. Anak muda tersebut bernama Napoleon Bonaparte (1769-1821).
Saat revolusi, Laplace duduk di atas punggung kuda dan mengawasi segalanya berjalan lancer. Tak seorangpun dengan keangkuhan dan ambisi besar mampu lolos dari marabahaya. De Pastoret menduga bahwa Lagrange dan Laplace lolos dari guiltin, karena keahlian keduanya masih dibutuhkan untuk menghitung lintasan peluru (meriam) dan membantu produksi sendawa (saltpeter) sebagai bahan dasar mesiu.
Setelah revolusi, Laplace terjun ke politik. Mungkin ingin memecahkan prestasi Newton. Laplace dikritik karena tidak mampu mengendalikan kantor-kantor pelayanan masyarakat di bawah rezim pengganti tanpa mengubah haluan politiknya. Keahlian Laplace adalah meyakinkan lawan politiknya bahwa Ia adalah pendukung setia. Hasil akhirnya, Laplace selalu mendapat jabatan setiap kali pergantian pemerintahan. Dapat berganti haluan politik dalam semalam dari republican yang fanatic maupun pendukung kerajaan yang paling bersemangat.
Teori potensial (adaptasi dari Lagrange) dikembangkan oleh Laplace menuruti mimpi-mimpinya menjadi signifikan bagi zaman modern. Tanpa peran matematik, teori ini sudah mati dan kita semua tidak akan pernah mngetahui apa itu elektromagnetik. Konsep potensial adalah inspirasi matematikal nomor satu, karena memungkinkan kita menyelesaikan masalah-masalah fisika yang selama ini tampaknya tidak tersentuh.
Potensial adalah suatu fungsi u digambarkan dalam hubungannya dengan gerakan zat cair dan persamaan Laplace dibuat menurut kaidah dari Newton. Fungsi u adalah “potensi kecepatan”, apabila menggunakan rumus gravitasi Newton, maka u adalah “potensi gravitasi”. Pengenalan konsep potensial ke dalam teori gerakan zat cair,gravitasi,elektromagnetik , dsb adalah pencapaian paling penting dalam fisika matematika.
Mecanique celeste adalah karya astronomi dengan segala permasalahannya diterbitkan dalam periode 12 tahun. Dibuat dua jilid pada tahun 1799, berisikan gerakan planet-planet, bentuk-bentuk (saat diputar), dan gelombang lautan. Dua jilid berikutnya muncul pada tahun 1802 dan tahun 1805 berisikan investigasi dan lengkap, kemudian selesai dengan terbitnya jilid 5 antara tahun 1823-1825.
Pada saat Napoleon jatuh, dengan keahlian diplomasi yang dimiliki Laplace, Ia banting setir menjadi pengikut setia Louis VIII dan menduduki jabatan dengan gelar Marquis de Laplace. Kemudian pada tahun 1816 , Laplace memperoleh penghargaan dengan diangkatnya Laplace menjadi presiden komite untuk pembenahan Ecole Politehnique.
Laplace menikmati masa tuanya di sebuah kota kecil di Arcueil, dekat kota Paris. Setelah beberapa hari sakit, Laplace kemudian mnutup mata pada tanggal 5 Maret 1827, dalam usia 77 tahun.
Matematika fisika dapat disebut sebagai kiprah pertama Laplace dalam menggunakan matematika untuk penerapan. Transformasi Laplace digunakan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan diferensial dan menentukan respon gelombang (osilator) harmonic bagi sinyal masukan (input).  Dalam riwayat hidup Laplace tampaknya dituntut suatu keberpihakan seorang ilmuwan apabila terjadi perubahan.

ISI
TRANSFORMASI LAPLACE

Transformasi Laplace adalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu system yang mengandung masukan dan keluaran , dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain.
Atau merupakan klas dari transformasi integral yang dimanfaatkan untuk merubah bentuk persamaan diferensial biasa menjadi bentuk persamaan aljabar, dan untuk merubah persamaan diferensial parsial menjadi persamaan diferensial biasa.
Dalam system fisik sebenarnya transformasi laplace sering dianggap sebagai suatu transformasi dari cara pandang domain waktu, dimana masukan dan keluaran dimengerti sebagai fungsi dari waktu ke domain frekuensi.
Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t) yang terdefinisi untuk semua nilai t riil dengan t ≥ 0, adalah fungsi F(s), yang didefinisikan sebagai:   

 
Limit dibawah 0 adalah kependekan dari dan memastikan inklusi dari keseluruhan delta dirac  pada 0 jika terdapat suatu impuls dalam f(t) pada 0. Secara umum parameter s bernilai kompleks

Jenis transformasi integral ini memiliki sejumlah sifat yang membuatnya amat berguna bagi analisa sistem dinamik linier. Keunggulan utama dari cara ini adalah mengubah proses diferensiasi menjadi perkalian dan integrasi menjadi pembagian, dengan adanya s (Hal ini mirip dengan fungsi logaritma yang mengubah operasi perkalian dan pembagian menjadi penjumlahan dan pengurangan). Perubahan persamaan integral dan diferensial menjadi bentuk polinomial menyederhanakan proses penyelesaian.
Beberapa sifat :

Sifat keberadaan transformasi, sifat ketunggalan dan sifat linear dari transfomasi Laplace namun sebelumnya, perhatikan beberapa definisi berikut :
Fungsi f(t) disebut kontinu bagian demi bagian pada interval [a,b] bila :
1. Interval [a,b] dapat dibagi menjadi sub-sub interval yang berhingga banyaknya yang menyebabkan f(t)     kontinu pada sub-sub interval tersebut.                                                                                                                                                                                        
2.  Limit dari f(t) pada setiap ujung sub interval bernilai hingga.

Fungsi f(t) disebut terbatas eksponensial pada interval [a,b] bila terdapat bilangan real
M dan r sehingga berlaku f (t) £ M ert untuk setiap tÎ[a,b].

Sifat Keberadaan Transformasi Laplace :
Transformasi Laplace dari f(t) dengan t ³0 ada bila f(t) kontinu bagian demi bagian dan
terbatas eksponensial untuk t ³ 0.

Sifat Ketunggalan Transformasi Laplace :
Transformasi lalace dari suatu fungsi adalah tunggal yaitu bila F1(s) dan F2(s) merupakan
transformasi Laplace dari f(t) maka F1(s) = F2(s) .

Sifat Linear Transformasi Laplace :


Invers dari transformasi Laplace juga mempunyai sifat linier karena :


Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi Tingkat n
Transformasi Laplace dari turunan f’(t) kontinu dan terbatas eksponensial, maka f(t) dan
f ‘ (t) mempunyai transformasi Laplace. Dengan menggunakan integral parsial dan sifat
terbatas eksponensial dari f(t) maka diperoleh :




Kemudian akan didapatkan transformasi Laplace dari turunan orde 2 dan orde 3 dari fungsi f(t), yaitu 

 

Secara induktif dapat diperoleh transformasi Laplace dari turunan orde n fungsi f (t),

 
Transformasi Laplace dari Integral Fungsi
Pada metode penurunan fungsi (1) diperlihatkan bahwa transformasi Laplace dari turunan fungsi didapatkan dengan mengalikan hasil transformasi fungsi dengan s. Karena integral merupakan anti turunan maka dapat diturunkan transformasi Laplace dari integral fungsi yang merupakan pembagian dari hasil transformasi fungsi oleh s. Misal F(s) = L (f(t)) ada. Maka :


Dengan s > 0. Sedang dengan menggunakan transformasi invers didapatkan :
Tabel Transformasi Laplace



 
Transformasi Laplace dari Fungsi Tangga
Misal diberikan fungsi f(t) = 2 u(t) + (3t – 2) u (t – 1) – 5t u (t – 2). Maka nilai
fungsi f(t) untuk beberapa interval :
· Interval t< 0,
            Pada interval ini, nilai u (t) = u (t – 1) = u (t – 2) = 0, sehingga f(t) = 0
· Interval 0< t <1
Pada interval ini, nilai u (t) =1 dan u (t – 1) = u (t – 2) = 0, sehingga f(t) =2
· Interval 1 < t < 2
Pada interval ini, nilai u (t) = u (t – 1) =1 dan u (t – 2) = 0, sehingga f(t) =2 + (3t – 2) = 3t
· Interval t > 2
Pada interval ini, nilai u (t) = u (t – 2) = 1, sehingga f(t) =2 + (3t – 2)- 5t = 2t


Grafik fungsi f(t) ditunjukan pada gambar 1.3. Sehingga bila fungsi f(t) dinyatakan dalam
fungsi tangga maka f(t) :



Bila dikaitkan dengan transformasi laplace, maka hanya akan di perhatikan nilai fungsi
f(t) untuk t ³ 0, sehingga fungsi f(t) :



Fungsi Delta Diract
Diperkenalkan fungsi impuls satuan atau fungsi delta direct. Fungsi delta direct atau
fungsi impuls satuan didefinisikan :




Transformasi laplace dari fungsi delta direct diperoleh dari perhitungan langsung atau menggunakan fakta bahwa fungsi delta direct merupakan turunan dari fungsi tangga :
 
Sedangakan transformasi inversnya





                                                  KESIMPULAN


Banyak sekali penyelesaian suatu permasalahan tertentu yang menggunakan transformasi laplace sebagai acuannya.Transformasi laplace juga memiliki beberapa sifat yang menjadi dasar dari suatu penyelesaian masalah tersebut. Setelah penyelesaian akhir dari suatu masalah didapat, maka kita juga akan dapat menghitung invers dari hasil penyelesaian masalah tersebut. Untuk menyelesaikan suatu masalah tertentu dengan menggunakan transformasi Laplace, dapat menggunakan tabel transformasi Laplace .




         DAFTAR PUSTAKA













:

     
                       




Tidak ada komentar: